17. One of a Billion Weeks – LAb[au]

12.
LAb[au] (BE)

One of a Billion Weeks

Teksten door Jean Rosenfeld & Raoul Sommeillier

We nemen 1 lamp (\(k=1\)). Net als de elementen van One of a Billion Weeks, kan die lamp ‘aan’ of ‘uit’ zijn (\(n=2)\). We zouden als het ware net zo goed een muntstuk kunnen opgooien om te zien of we ‘kop’ of ‘munt’ gooien.

Met andere woorden: het valt eenvoudig te voorspellen hoeveel verschillende resultaten er mogelijk zijn. Hier zijn dat er dus 2 (\(A=2\)). De lamp kan immers hetzij gedoofd zijn, hetzij branden, oftewel ‘uit’ of ‘aan’ zijn.

Poepsimpel, niet? Zodra we echter gelijkaardige situaties gaan combineren, wordt het al snel een stuk complexer.

We nemen nu bijvoorbeeld 2 lampen (\(k=2\)). Hier zijn er 4 resultaten mogelijk (\(A=4\)) :

1. beide lampen zijn ‘uit’,
2. de eerste lamp is ‘aan’, de tweede is ‘uit’,
3. de eerste lamp is ‘uit’, de tweede is ‘aan’,
4. beide lampen zijn ‘aan’.

Als we nu 3 lampen nemen (\(k=3\)), dan merken we dat er 8 mogelijke resultaten zijn (\(A=8\)).

Er bestaat weliswaar een formule om het aantal mogelijke resultaten \(A\) te berekenen aan de hand van het aantal lampen \(k\) en het aantal mogelijke toestanden van elke lamp \(n\) :

\[A=n^k\]

In One of a Billion Weeks gedraagt elk element (segment of punt) zich als een ‘binaire’ lamp (met 2 mogelijke toestanden: ‘uit’ of ‘aan’), en de combinatie van 18 van die elementen levert 1 karakter op het schermpje op. Hier kan elk element dus \(n=2\) toestanden aannemen en telt elk karakter \(k=18\) elementen, waardoor het aantal mogelijke unieke resultaten per karakter gelijk is aan

\[A=n^k=2^{18}=262144\]

Klik op de animatie hieronder en krijg willekeurige resultaten te zien van elementen die samen één karakter op het schermpje vormen. Je zal al snel begrijpen dat je wel heel erg geduldig moet zijn (of heel veel geluk moet hebben) om meerdere keren hetzelfde karakter te zien te krijgen.

Het schermpje in het werk van LAb[au] telt 10 van die karakters. Hoeveel resultaten zijn er dan mogelijk voor die 10 karakters samen?

Welnu, er zijn twee manieren om tot dezelfde oplossing te komen.

– Ofwel stellen we dat het scherm een geheel vormt van \(10\times 18=180\)  elementen die ‘aan’ of ‘uit’ kunnen zijn. In dat geval is \(k=180\) en is \(n=2\). Dan bekomen we \(A=n^k=2^{180}\).

– Ofwel vermenigvuldigen we eenvoudigweg het aantal mogelijke resultaten van elk van de 10 karakters van het scherm:
\(A=2^{18}×2^{18}×2^{18}×2^{18}×2^{18}×2^{18}×2^{18)×2^{18}×2^{18}×2^{18}=2^{18})^{10}=2^{18×10}=2^{180}.

In beide gevallen komen we – voor dit eenvoudige schermpje met amper 10 karakters – tot een niet te bevatten aantal mogelijkheden.

\[2^180=1 532 495 540 865 888 858 358 347 027 150 309 183 618 739 122 183 602 176= 1.53×10^54\]

Het aantal mogelijkheden is zelfs zo immens dat we het amper kunnen voorstellen op onze schaal.

We wagen een poging om dit getal iets bevattelijker te maken: als elk resultaat een zandkorreltje zou zijn, dan zouden we met die  zandkorreltjes 1 miljard keer het totale volume van de zon kunnen vullen (en dat terwijl het volume van de zon al een miljoen keer groter is dan het volume van de aarde)!

Quizvraag (vrijblijvend
1. Laat ons nu een RGB-lamp nemen. Die heeft drie mogelijke toestanden, en kan meer bepaald 3 kleuren doen oplichten: rood, groen een blauw. Hoeveel mogelijke resultaten zouden 2 van die lampen kunnen opleveren?
🡪 Antwoord: elk van de \(k=2\) lampen heeft hier \(n=3\) mogelijke toestanden.
Het antwoord is dus 9, want \(A=n^k=3^2=9\), zoals te zien in onderstaande afbeelding.

2. Hoeveel mogelijke combinaties zijn er op een hangslot met 4 cijfers?
🡪 Antwoord: een hangslot met 4 cijfers heeft 4 wieltjes (\(k=4\)), elk met 10 mogelijke toestanden (\(n=10\)) aangezien ze elk  waarden kunnen aannemen). Het aantal mogelijke combinaties is bijgevolg \(A=n^k=10^4=10000\) . Je hebt met andere woorden flink wat tijd en engelengeduld nodig om zo’n hangslot open te krijgen door alle mogelijke combinaties uit te proberen.
Merk op dat bij gebruik van de 26 letters van het alfabet in de plaats van 10 cijfers, er maar liefst \(26^4=456976\) combinaties mogelijk zouden zijn!

In de combinatieleer of kansberekening laat de bovenstaande formule \(A=n^k\) toe om het aantal mogelijke resultaten van een specifieke configuratie te berekenen: meer bepaald het aantal mogelijke opstellingen van \(k\) objecten in een verzameling van \(n\) objecten bij een willekeurige trekking met teruglegging.

Onder niveau 3 lichten we twee grote domeinen binnen de combinatieleer meer in detail toe: de studie van eindige verzamelingen (permutaties, herhalingsvariaties en combinaties) en teltechnieken.

Pagina’s: 1 2 3