14. In Praise of Love – Michel Tombroff

Even terug naar onze veelvouden van 7, die we gemakkelijk in een lijst kunnen gieten: we nemen de lijst met natuurlijke getallen en behouden slechts één op zeven van die getallen, te beginnen bij 0.

 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | …

Je zou misschien verwachten dat er minder veelvouden van 7 zijn dan er natuurlijke getallen bestaan. Maar is dat wel logisch? Laat ons even de vermenigvuldigingstabel van 7 erbij nemen:

0123456789101112N
0714212835424956637077847 x N

De tabel toetst de natuurlijke getallen (de bovenste rij) één voor één aan de veelvouden van 7 (onderste rij). Zo komen we tot de vaststelling dat er evenveel veelvouden van 7 zijn als er natuurlijke getallen zijn. Is dat logischer? Ja, en om alle twijfel weg te nemen, moet je weten dat precies die bewering als principe geldt binnen de wiskunde.

Gelijkmachtigheidsprincipe
Twee verzamelingen bevatten eenzelfde aantal elementen wanneer er een één-op-éénrelatie bestaat tussen hun elementen. We noemen die verzamelingen ‘gelijkmachtig’.

De verzameling natuurlijke getallen is gelijkmachtig aan de verzameling veelvouden van 7, ook al is die er slechts een deel van, zou je denken. Dit is echter niet tegenstrijdig: het gaat eenvoudigweg om de eigenschap van een oneindige verzameling, en laat die oneindigheid nu ook een onderzoeksgebied zijn binnen de wiskunde.

De reeks natuurlijke getallen – de getallen waarmee we tellen – is oneindig. Maar ook een ander soort getallen wordt oneindig genoemd, met name de getallen waarmee we meten, oftewel de reële getallen. Scholieren hebben het doorgaans over ‘kommagetallen’, aangezien die getallen, wanneer die niet geheel zijn, een decimale notering krijgen, met een komma en cijfers aan beide zijden van die komma. Dat doet je ongetwijfeld denken aan enkele cijfers in de decimale notering van het beroemde getal \(\pi\), met name 3,14159…

Reëel getal
We geven de punten op een lijnstuk weer met behulp van getallen tussen 0 en 1.
In Figuur 1 komt het rode punt overeen met het reële getal dat we noteren als 0,7142128354…,
waarbij de drie puntjes “” aangeven dat de reeks niet eindig is.
Quizvraag
Kan jij raden hoe de reeks cijfers verdergaat?

In de praktijk volstaan doorgaans benaderingswaarden en beperken we ons tot reële getallen die we kunnen noteren met een eindige reeks cijfers. We hebben het meer bepaald over de decimale getallen. Bij wijze van voorbeeld volgt hier een oneindigheid:

0 | 0,7 | 0,714 | 0,71428 | 0,7142835 | 0,714283542 | …

Zoals je al kunt vermoeden, gaat het hier om steeds nauwkeurigere benaderingswaarden van het rode getal in het voorgaande kadertje.

Quizvraag
Is het getal dat we noteren als 0,999999999…, met een oneindige herhaling van het cijfer 9, een decimaal getal?
Decimale benadering
In Figuur 2 zien we in het blauw alle punten op het lijnstuk die we kunnen weergeven met een reëel getal dat niet meer dan 4 cijfers na de komma telt.

“Maar waar zijn dan de andere punten dan?” hoor ik je denken. Wel, de nauwkeurigheidslimiet (de afstand tussen de punten) laat ons niet toe die te onderscheiden.

De verzameling decimale getallen tussen 0 en 1 is oneindig. Is het volgens jou mogelijk om een lijst op te stellen met al deze elementen en om die met een één-op-éénrelatie te toetsen aan het aantal natuurlijke getallen, zoals met de veelvouden van 7? Probeer maar!

Als je het antwoord wil kennen, dan klik je op de pijl hieronder.

Pagina’s: 1 2 3 4 5 6