Michel Tombroff (BE)

Teksten door Luc Lemaire

2. Twee voorbeelden van dekpuntstellingen

Hier volgen de twee bekendste dekpuntstellingen.

In de dekpuntstelling van Brouwer is \(D\) een gesloten schijf in een vlak, en \(f\), een continue functie van \(D\) naar \(D\). Een volle schijf is een verzameling van alle punten op een cirkel en alle punten binnen die cirkel. Een continue functie houdt in dat twee nabijgelegen punten in \(D\) door \(f\) naar twee nabijgelegen punten in \(D\) worden gestuurd (dit is evenwel geen nauwkeurige definitie).

Stel dat een continue functie \(f : D \rightarrow D\) een punt \(x\) van \(D\) naar \(f(x)\) stuurt.
Dan bevat \(f\) een dekpunt, oftewel een punt \(x_0\) zoals \(f(x_0)=x_0\). De functie \(f\) verplaatst dit punt niet. Het punt blijft ‘vast’.

Om een stelling echt te doorgronden, is het vaak nuttig om na te gaan wat er gebeurt als aan één van de voorwaarden niet wordt voldaan en de schijf door een ander vlak wordt vervangen. Dan wordt al snel duidelijk waarom die voorwaarden nodig zijn.

Als het domein \(D\) de vorm aanneemt van een DVD (meer bepaald een schijf met een rond gat in het midden), dan zal die schijf na rotatie  om de eigen as geen dekpunt bevatten. (We zouden een dekpunt kunnen vinden in het centrum, mocht dit centrum tot \(D\) behoren, wat hier niet het geval is.)

Als het domein gelijk is aan het volledige vlak \(\mathbb{R}^2\), dan verplaatst een translatie (zijdelingse verschuiving) alle punten en is er dus evenmin een dekpunt.

De contractiestelling van Banach (1922) is van toepassing op een euclidische ruimte met eender welke dimensie, en stelt dat:

Als de functie \(f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\) een contractie is, wat betekent dat voor \(x\) en \(y\) in de afstand tussen \(f(x)\) en \(f(y\) bijvoorbeeld kleiner is dan 0,9 keer de afstand tussen \(x\) en \(y\).
Dan heeft \(f\) één uniek dekpunt waarvan we de waarde bij benadering kunnen berekenen.

Het werk van Michel Tombroff geeft deze twee stellingen gestalte.
De stellingen kennen vele toepassingen in uiteenlopende wiskundige vakgebieden.

We toetsen de stellingen even aan een algemene bewering binnen de wiskunde: op enkele uitzonderingen na, kun je geen formule schrijven die de oplossingen van een vergelijking geeft.

3. Formules en oplossingen van vergelijkingen

Laat ons beginnen bij de eenvoudigste vergelijkingen, zoals de lineaire vergelijking \(a.x + b = 0\), waarvan de oplossing \(x = -\frac{b}{a}\) is, of de tweedegraadsvergelijking \(a.x² + b.x + c = 0\), waarvan de oplossingen worden aangereikt door de beroemde formule

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Voor derde- en vierdegraadsvergelijkingen bestaan er complexere formules die dateren uit de renaissance, en de oplossingen worden aangereikt door formules waarin de vier wiskundige operaties (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) en worteltrekken zijn vervat.

Sinds Abel (1826) en Galois (1831) weten we echter dat er geen algemene formule bestaat die deze oplossingen van vijfde- of hogeregraadsvergelijkingen oplevert (behalve in bijzondere gevallen). Dat is niet omdat we die nog niet gevonden hebben, maar wel omdat die niet bestaan.

Kortom, op enkele bijzondere gevallen na, kunnen we geen formules noteren die oplossingen aanreiken voor elke vergelijking.

Wanneer we in de wiskundeles methodes aanleren om tot oplossingen te komen, dan worden daarbij slechts die uitzonderingen behandeld.

4. Differentiaalvergelijkingen

En dan nu over naar vergelijkingen die alomtegenwoordig zijn in de wiskunde en wetenschappen: differentiaalvergelijkingen. In de plaats van een precieze definitie, zullen we het hebben over de beweging van een punt dat onderhevig is aan de krachten in de ruimte, beschreven door Newton.

Voor een punt waarvan de positie in de ruimte afhankelijk is van de tijd, noteren we die positie als \(f(t)\). Wanneer dit punt beweegt, dan is de snelheid ervan de afgeleide van \(f\), en is zijn versnelling de tweede afgeleide, oftewel de afgeleide van de afgeleide. We noteren bijgevolg \(f(t)\) (de positie), \(f'(t)\) (de afgeleide) en \(f”(t)\) (de tweede afgeleide).

Volgens de wet van Newton is de kracht \(F\) die een punt ondergaat gelijk aan zijn massa \(m\) maal zijn versnelling \(a\): \[F=m\times a\]. De kracht kan afhangen van de tijd, de positie en de snelheid.

De vergelijking ziet er dus als volgt uit:

\[F(t, f(t), f'(t)=m\times f”(t)\]

\(F\) is hier een functie afhankelijk van drie variabelen.
We benadrukken dat de onbekende hier een functie is die afhankelijk is van de tijd \(t\) en niet van een getal.
We bepalen de positie en snelheid van het punt ten opzichte van de tijd \(t=0\).
Een toepassing van het contractieprincipe van Banach houdt dus in dat de oplossing van de vergelijking bestaat en uniek is.

Wanneer meerdere lichamen zich samen in de ruimte bevinden, dan oefent elk van hen een aantrekkingskracht uit op de andere, met een complex systeem van differentiaalvergelijkingen, eveneens steunend op de wet van Newton, tot gevolg.

Wanneer er twee lichamen zijn (bijvoorbeeld een ster en een planeet), dan hebben we formules die de evolutie van het stelsel beschrijven: de planeet volgt een ellipsvormige baan waarvan de ster een van de brandpunten is.
Zodra er minstens drie lichamen zijn, bestaat er geen formule om het traject te beschrijven.

Een satelliet naar de maan of naar Mars sturen, vraagt dus om benaderingsberekeningen, waarbij men gebruikmaakt van de almaar toenemende rekenkracht van computers en de toenemende efficiëntie van hun algoritmes.
De recente krachttoeren van de ESA (die de robot Philae op de komeet 67P/Tchouri deed landen) en de NASA (die de robot Perseverance en zijn helikopter Ingeniuty naar Mars stuurde), bewijzen hoe ongelofelijk precies deze methodes zijn.

5. Terug naar onze dekpunten

Naast hun toepassingen op de stellingen rond het bestaan van oplossingen van differentiaalvergelijkingen, hebben de dekpuntstellingen van Brouwer en Banach ook gelijkaardige resultaten in steeds algemenere situaties opgeleverd. Deze hebben geleid tot toepassingen in uiteenlopende vakgebieden: fysica (renormalisatie), speltheorie en economie (Nash-evenwicht), webbeheer, kansberekening, optimalisatie van informaticacodes enz.

Zo kunnen een doodeenvoudige wiskundige kwestie en een al even eenvoudige stelling volledig verschillende resultaten en ontwikkelingen opleveren in uiteenlopende vakgebieden. De dekpuntstellingen vormen in die zin een gezamenlijke spil waarrond andere domeinen zich kunnen ontwikkelen. In de plaats van nieuwe, ingewikkelde stellingen aan te tonen, herleidt men ze allen tot dit eenvoudige principe. De tekst van Jean Mawhin (in het Frans, en helaas weggelegd voor wiskundigen) gaat hier dieper op in: Le théorème du point fixe de Brouwer : un siècle de métamorphoses.

Pagina’s: 1 2 3