11. Pantheism – Joanie Lemercier

Joanie Lemercier (FR/BE)

Pantheism

Teksten door William Hautekiet

1. Betegeling van een vlak

Een betegeling van een vlak is een manier om een vlak te bedekken met tegels die op elkaar aansluiten en zo het hele vlak beslaan, zonder overlapping. Doorgaans zijn die tegels veelhoeken, zoals driehoeken, rechthoeken of zeshoeken. Een vlak is per definitie onbegrensd, waardoor het geheel van tegels een oneindige oppervlakte kan beslaan.

Je kent ongetwijfeld enkele voorbeelden van betegelingen, denk maar aan een vloer die betegeld is met vierkante tegels, mozaïeken of het zeshoekige honingraatpatroon dat we in bijenkasten vinden en het vlak perfect vult.

Al snel rijst hierbij een vraag: welke veelhoeken kunnen op zichzelf een vlak betegelen? Met andere woorden? Welke veelhoeken kunnen het hele vlak vullen met een oneindige herhaling van zichzelf?

Even ter herinnering: een veelhoek is een gesloten meetkundige figuur in een plat vlak, gevormd door hoekpunten die door lijnstukken met elkaar verbonden zijn. Courante voorbeelden van veelhoeken zijn de driehoek, de ruit, het vierkant, het paralellogram, de vijfhoek, de zeshoek, de trapeze enz.

Terug nu naar onze vraag. Laat ons eerst even uitsluitend naar de regelmatige veelhoeken kijken, oftewel de veelhoeken waarvan alle zijden dezelfde lengte hebben en alle hoeken dezelfde grootte.

Welnu: het antwoord op onze vraag is even eenvoudig als verrassend: er bestaan slechts drie regelmatige veelhoeken die op zichzelf een vlak volledig kunnen betegelen.

Het gaat meer bepaald om de driehoek, het vierkant en de zeshoek.

Een regelmatige veelhoek kan immers pas een vlak betegelen wanneer de volle hoek (360°) een veelvoud is van zijn interne hoek. De interne hoek van een regelmatige veelhoek met n zijden vinden we met de formule: .

De betegeling van het vlak kan dus alleen met gelijkzijdige driehoeken met 3 hoeken van 60° (360°=6×60°), vierkanten met 4 hoeken van 90° (360°=4×90°) en regelmatige zeshoeken met 6 hoeken van 120° (360°x3x120°).

De interne hoek van een regelmatige vijfhoek bedraagt 108°, waarvan 360° geen veelvoud is. Een betegeling van een vlak met uitsluitend regelmatige vijfhoeken is bijgevolg onmogelijk.




Regelmatige betegelingen en een poging tot betegeling met regelmatige vijfhoeken

Zodra we de vereiste van regelmatigheid laten vallen, en we dus kiezen voor veelhoeken met zijden en hoeken van verschillende lengtes en groottes, krijgen we uiteraard veel meer mogelijkheden.
Ziehier enkele voorbeelden van betegelingen van een vlak met onregelmatige vijfhoeken.

Différents pavages pentagonaux irréguliers

Om tot een betegeling te komen, mogen we het basismotief niet wijzigen. We mogen het basismotief daarentegen wel herhalen, met toepassing van drie meetkundige transformaties, met name translatie, rotatie en symmetrie.

Tot nog toe kwamen we uitsluitend zogenoemd ‘periodieke‘ betegelingen tegen. Dergelijke betegelingen bestaan uit de oneindige herhaling van een vormvast motief – dat we een ’tegel’ (een begrensd veld) kunnen noemen – met behulp van translaties in minstens twee richtingen.

In de bovenstaande afbeeldingen kan je gemakkelijk vaststellen dat de betegelingen wel degelijk uitsluitend translaties toepassen en dus periodiek zijn.

Bestaan er dan ook betegelingen die deze eigenschap niet hebben, en die dus ‘aperiodiek‘ zijn?

Het antwoord is ‘ja’. Een kleine wijziging van de eerste vijfhoekbetegeling volstaat om ons daarvan te overtuigen. Je ziet al snel dat het niet langer mogelijk is om het vlak uitsluitend met translatie volledig te betegelen met dit motief. Deze vijfhoeken kunnen het vlak dus zowel periodiek als aperiodiek betegelen.

Periodieke en aperiodieke betegeling

De wiskundige Hao Wang stelde dat met elke mogelijke aperiodieke betegeling een periodieke betegeling gevormd kon worden bij gebruik van dezelfde veelhoeken. Hao Wangs leerling, Robert Berger, slaagde er evenwel in die stelling te weerleggen. Hij ontdekte immers een verzameling van 20.426 verschillende veelhoeken die een volledig vlak kunnen vullen, zij het uitsluitend op een aperiodieke manier!

In 1974 ontdekte Roger Penrose op zijn beurt twee veelhoeken die het vlak slechts aperiodiek vullen. Die twee veelhoeken – twee vierhoeken in de vorm van een vlieger en een pijlpunt – moeten zodanig geplaatst worden dat de rode en groene cirkelbogen ononderbroken zijn.
In de volgende animatie kan je zien dat translatie in de Penrosebetegeling onmogelijk is zonder de veelhoeken te wijzigen.

Penrosebetegeling (animatie)

In het volgende deel zullen we een Penrosebetegeling vormgeven en aantonen dat die niet periodiek kan zijn. Tegelijk leggen we een interessante link bloot met de reeks van Fibonacci en het gulden getal!
Tot slot zullen we het hebben over de triangulatie van een veelhoek, oftewel het opdelen van een veelhoek in een verzameling driehoeken.

Pagina’s: 1 2 3