09. Fractal – Sabina Hyoju Anh

Sabina Hyoju Anh (KR)

Fractal

Teksten door Paolo Saracco

Een nieuwe dimensie?

Om ‘fractale’ objecten van ‘gewone’ objecten te kunnen onderscheiden, moeten we even onze kennis over het begrip ‘dimensie’ opfrissen. Als we even de tijd buiten beschouwing laten, leven we allen in een driedimensionale ruimte. We zijn dan ook erg vertrouwd met driedimensionale objecten: een kubus, bol, kegel, standbeeld, auto enz. Op de lagere school leren we over tweedimensionale objecten: cirkels, vierkanten, driehoeken en andere veelhoeken, die we doorgaans op een blad papier tekenen. De beelden op een scherm (bijvoorbeeld wanneer we een film bekijken in de bioscoop) mogen dan wel driedimensionale objecten voorstellen, ze zijn in feite slechts tweedimensionaal. En hoewel het strikt genomen nogal moeilijk ligt om over eendimensionale of zelfs nuldimensionale objecten te spreken, noemen we een rechte lijn op een blad papier of een uiterst dunne gespannen draad eendimensionale objecten (aangezien zij, mits enige verbeelding, geen dikte hebben). Een bijzonder klein puntje zouden we op die manier nuldimensionaal kunnen noemen.

Informeel spreken we dan van de ‘topologische dimensies’ (afkomstig van de Griekse woorden ‘τόπος’ (plaats, locatie) en ‘λόγος’ (studie) van objecten. Het gaat uiteraard om wiskundige abstracties: een punt kan in werkelijkheid niet oneindig klein zijn, en een lijn zou oneindig dun moeten zijn om eendimensionaal te kunnen worden genoemd. Ze zijn evenwel ‘voldoende’ klein of dun voor meetkundige of ‘geometrische’ doeleinden (van de Griekse woorden γεωμετρία, γεω (aarde) en μετράω (ik meet), oftewel ik ‘ik meet de aarde’). Van een eendimensionaal object kunnen we de lengte meten. Van een tweedimensionaal object kunnen we de oppervlakte meten. En van een driedimensionaal object kunnen we het volume berekenen.

Informeel spreken we dan van de ‘topologische dimensies’ (afkomstig van de Griekse woorden ‘τόπος’ (plaats, locatie) en ‘λόγος’ (studie) van objecten. Het gaat uiteraard om wiskundige abstracties: een punt kan in werkelijkheid niet oneindig klein zijn, en een lijn zou oneindig dun moeten zijn om eendimensionaal te kunnen worden genoemd. Ze zijn evenwel ‘voldoende’ klein of dun voor meetkundige of ‘geometrische’ doeleinden (van de Griekse woorden γεωμετρία, γεω (aarde) en μετράω (ik meet), oftewel ik ‘ik meet de aarde’). Van een eendimensionaal object kunnen we de lengte meten. Van een tweedimensionaal object kunnen we de oppervlakte meten. En van een driedimensionaal object kunnen we het volume berekenen.

Hoewel het hier om wiskundige abstractie gaat, brengt deze kromme een aanzienlijk probleem aan het licht als het gaat om ons intuïtieve concept van dimensie. Als kromme neemt de sneeuwvlok van Koch de vorm aan van een veelhoek (met een oneindig aantal zijden!) die een afgebakend oppervlak omsluit, dat ‘gemeten’ zou kunnen worden met de gebruikelijke meetkundige tools, door de omtrek en oppervlakte ervan te berekenen.

Laat ons beginnen bij de omtrek. Als we ervan uitgaan dat elke zijde van de initiële driehoek lengte \(1\) heeft, dan bedraagt zijn omtrek \(3\). Aangezien elke zijde van de ster in de tweede stap een lengte heeft van \(\frac{1}{3}\), dan bedraagt de omtrek van de ster \(4=\frac{4}{3}\times 3>3\). Het sneeuwvlokje in de derde stap heeft bijgevolg een omtrek van \(\frac{16}{3}=\frac{4}{3}\times 4>4\). In de vierde stap, bedraagt de omtrek \(\frac{64}{9}=\frac{4}{3}\times \frac{16}{3}>\frac{16}{3}\), enzovoort.

Algemeen gesteld, bedraagt de omtrek in de \(n\)e stap \((\frac{4}{3})^n \times 3\), en neemt die omtrek continu toe bij elke nieuwe stap. De omtrek van de sneeuwvlok in de laatste stap is dus oneindig, ook al blijft de oppervlakte eindig. Op die manier ontsnapt een onschuldig sneeuwvlokje dus aan ons vermogen om de natuur ‘te meten’.

Gelukkig bestaat er nog een andere manier om eenvoudige dimensies te benaderen en die een wiskundige betekenis geeft aan de waarde van de dimensie.

Als we vertrekken vanuit een lijn met één lengte-eenheid, die we vervolgens vergroten met factor 2, dan krijgen we een lijn met twee lengte-eenheden.

Als we de lengte-eenheid vergroten met factor 3, dan bekomen we een lijn met drie lengte-eenheden. Als we, volgens diezelfde redenering, een eenheidsvierkant tweemaal vergroten om tot een vierkant te komen met zijden die twee keer zo lang zijn, dan bekomen we een vierkant met een oppervlakte die vier keer groter is dan die van het originele vierkant.
Als we het eenheidsvierkant drie keer vergroten om tot een vierkant met zijden van drie lengte-eenheden te komen, dan krijgen we een vierkant dat bestaat uit negen eenheidsvierkanten.
Tot slot doen we hetzelfde met een eenheidskubus. Als we die vergroten met factor twee, om tot een kubus te komen met twee eenheidsbreedtes (en -lengtes en -hoogtes), dan krijgen we een kubus met acht eenheidskubussen als resultaat.
Vergroten we de eenheidskubus met factor 3, dan komen we uit op een kubus met 27 eenheidskubussen.

In elk van de bovenstaande gevallen kunnen we de relatie tussen de vergrotingsfactor \(r\) van het eenheidsobject, de dimensie \(D\) en het aantal eenheidsobjecten \(N\) die nodig zijn om het vergrootte object te vullen, als volgt noteren:
\[N=r^D\]

Als we, in het licht van die relatie, de dimensie van ons object willen bepalen, kunnen we dat doen door de formule te herschikken als de relatie tot \(D\). Daarvoor hebben we een wiskundige functie, die we logaritme \(log\) noemen en die enkele erg nuttige eigenschappen bezit:

\(log(x\times y)=\log(x)+log(y)\) en \(log(x^y)=y\times logx)\)

Steunend op deze functie, kunnen we achterhalen dat \(log(N) =log(r^D) =D\times log (r)\) en dus dat

\[D=\frac{log(N)}{log(r)}\]

Deze relatie is waar, ongeacht de vergrotingsfactor die we gebruiken bij de berekening. We spreken dan van een fractale dimensie. In het geval van de eenheidskubus, zagen we dat we na een vergrotingsfactor van \(r=2\), \(N=8=2^3\) eenheidskubussen nodig hadden om de vergrootte kubus te vullen. Bijgevolg is

\[D=\frac{log(N)}{log(r)}=\frac{log(2^3)}{log(2)}=\frac{3\times log(2)}{log(2)}=3\]

en dus is de kubus driedimensionaal, ook bij deze fractale dimensie. Laat ons dit nu even toepassen op de sneeuwvlok van Koch. Hier zien we dat het hele vlokje bestaat uit de samenvoeging van drie ‘zijden’ of segmenten, meer bepaald krommen van Koch (zoals hieronder).

Als we, bij elke stap in de constructie, segmenten nemen met 1/3 van de afmetingen van de originele segmenten, dan houdt dat in dat we een vierde van de figuur in de hoek links onderaan van het volgende segment nemen en dat we vier kopieën daarvan nodig hebben om de volledige figuur te vormen. Als we bijvoorbeeld kijken naar ___, dan houdt het nemen van een segment van één derde zo groot in dat we _ nemen, wat we terugvinden in de hoek links onderaan van _/\_.

Bij elke stap van de constructie hebben we segmenten die 1/3 van de lengte hebben van de voorgaande segmenten en hebben we telkens vier keer zo veel segmenten nodig. Deze relatie blijft altijd gelden en blijft behouden in de finale kromme. Als we de kromme dus vergroten met \(r=3\), dan hebben we \(N=4\) krommen nodig om de initiële kromme te vullen. Samengevat:

\[D=\frac{log(N)}{log(r)}=\frac{log(4)}{log(3)}\approx 1,26\]

De fractale dimensie is dus geen geheel getal (de dimensie van de sneeuwvlok van Koch is uiteraard dezelfde als die van elk van zijn onderdelen).

Het is belangrijk om te vermelden dat wat we zopas hebben beschreven een voorbeeld is van een fractale dimensie, die zich uitstekend leent voor de theoretische objecten die recursief kunnen worden omschreven als de sneeuwvlok van Koch. Er bestaan echter heel wat verschillende fractale dimensies, die in meer of mindere mate efficiënt kunnen zijn naargelang hun toepassing.

Fractalen

De term ‘fractaal’, afkomstig van het Latijnse woord ‘fractus’ dat ‘gebroken’ of ‘gefragmenteerd’ betekent, werd gemunt door Mandelbrot in zijn verhandeling van 1975. Sindsdien genoot de fractale meetkunde al heel wat belangstelling, al leidt ze soms ook tot polemiek.

Er werden al meerdere pogingen ondernomen om een wiskundige definitie vast te legen voor fractalen. Die definities bleken echter nooit algemeen van toepassing. We wagen ons hier dan ook niet aan een precieze definitie, en houden het liever bij de overweging dat een verzameling in de Euclidische ruimte fractaal is als ze aan alle of meerdere van de volgende eigenschappen voldoet:

  1. Ze bezit een verfijnde structuur. De onregelmatige details treden met andere woorden op eender welke schaal op.
  2. Ze is te onregelmatig om te beschrijven met de traditionele meetkundige berekenigen of taal, zowel lokaal als globaal.
  3. Ze is vaak in zekere mate zelfgelijkvormig of zelfaffien, hetzij perfect, hetzij benaderend.
  4. Doorgaans is haar fractale dimensie (in zekere mate gegeven) groter dan haar topologische dimensie.
  5. In veel gevallen bezit ze een erg eenvoudige, misschien zelfs recursieve definitie.
  6. Ze oogt vaak ‘natuurlijk’.

De voorbeelden van fractalen zijn legio, al genieten bepaalde klassen bijzondere aandacht. Sommige zelfgelijkvormige fractals zijn bijzonder goed gekend:

  • de sneeuwvlok van Koch,
  • de driehoek van Sierpinski,
  • de triadische Cantorverzameling,
  • en het tapijt van Sierpinski.

De laatste twee voorbeelden worden respectievelijk weergegeven door de afbeelding en de animatie hieronder.

Fractalen die dynamische systemen aantrekken of afstoten, bijvoorbeeld de Juliaverzamelingen die resulteren uit de iteratie van complexe functies, werden eveneens al uitgebreid beschreven. De fractale meetkunde is de studie van verzamelingen met eigenschappen als in 1 tot 6.

Pagina’s: 1 2 3