09. Fractal – Sabina Hyoju Anh

Sabina Hyoju Anh (KR)

Fractal

Teksten door Paolo Saracco

“Wolken zijn geen bollen, bergen geen kegels en kusten geen cirkels. Een schors is niet glad en de bliksem volgt geen rechte lijn.”

Benoit B. Mandelbrot, 1982

De wijze woorden van Mandelbrot leren ons dat we niet van de natuur moeten verwachten dat ze zich schikt naar de meetkunde. Maar hoe schikt de meetkunde zich naar de natuur?

Een basisconcept in de klassieke meetkunde is dat een ‘regelmatig’ object – hoe ‘complex’ het er op het eerste gezicht ook uit mag zien – ‘eenvoudiger’ wordt naarmate we het van dichterbij gaan observeren. Zo kan het Vrijheidsbeeld een grote vlakte lijken voor de mier die erop loopt. Fractalen zijn daarentegen objecten die ‘complex’ blijven ongeacht of we ze van dichtbij of van veraf bekijken.

De benaming ‘fractaal’ stamt uit het Latijnse woord ‘fractus’, dat gebroken of gefragmenteerd betekent. Het was Mandelbrot die de term in 1975 voor het eerst gebruikte.

Eenvoudig gesteld, is een fractaal een verzameling die ‘onregelmatiger’ is dan de verzamelingen die in de traditionele wiskunde worden beschreven. Een fractaal behoudt te allen tijde zijn rijke en complexe structuur. Hoe sterker we ‘inzoomen’, hoe kleiner de details worden die we blootleggen. Dat geldt voor de randen van een sneeuwvlokje, het oppervlak van een Romanesco-broccoli of zelfs de Britse kusten.

Longen en bomen zijn schoolvoorbeelden van natuurlijke fractalen. Ze delen namelijk hetzelfde vertakkingspatroon. En daar is een goede reden voor. Bomen en longen delen immers ook dezelfde functie: ademen. Het hoeft bijgevolg niet te verbazen dat ze een gelijkaardige structuur bezitten. (Wetenschappers spreken van ‘vorm volgt functie’.) Beide moeten ze een zo groot mogelijk oppervlak beslaan binnen een beperkt volume. De hoeveelheid gas die via blaadjes aan de bomen of de longen van een dier afgegeven kan worden, staat rechtstreeks in verhouding tot het totale respiratieoppervlak. Hoewel het volume van menselijke longen slechts 4 tot 6 liter bedraagt, ligt de longoppervlakte tussen de 50 en de 100 vierkante meter. Dat is zowat de oppervlakte van een tennisveld.

Een formelere definitie van een fractaal zou zijn: een verzameling waarvan de afmetingen niet overeenstemmen met wat verwacht wordt. Neem nu de beroemde kromme van Hilbert-Peano, opgebouwd uit een oneindige herhaling van het onderstaande proces.

Aangezien het hier om een kromme gaat, zouden we verwachten dat we met een eendimensionale verzameling zitten. Formeel gezien beslaat deze kromme echter het hele oppervlak, waardoor het dus om een tweedimensionale verzameling gaat. Het bestaan van objecten waarvoor het intuïtieve concept van dimensies ongeschikt blijkt, bracht wiskundigen tot de studie van nieuwe concepten: de fractale dimensies.

Tegenwoordig worden fractale dimensies gebruikt om een brede waaier aan objecten te beschrijven, van stromingen en rivierdelta’s tot de verstedelijking, het menselijk lichaam, de geneeskunde of de trends op de markt.

Fractalen, hetzij natuurlijk of puur wiskundig, kunnen buitengewoon mooi zijn. En het is fascinerend om te zien hoe in fractalen de wetenschap en wiskunde samenvloeien met de kunsten.

Pagina’s: 1 2 3