05. Pi – Michel Tombroff

Michel Tombroff (BE)

Pi

Teksten door Luc Lemaire

Laat ons even teruggaan naar ons touw van 40.000 km, dat over de evenaar loopt en waar we één meter aan hebben toegevoegd. Onze intuïtie doet ons vermoeden dat we het touw amper een millimeter zouden kunnen opheffen over de hele evenaar.

De formule \(p=2\times \pi \times r\) leert ons echter dat, als we de omtrek met één meter verlengen, de straal toeneemt met \(r=\frac{1}{2\pi}\). We zouden het touw dus met ongeveer 16 centimeter kunnen opheffen over de hele evenaar.

Het waren de oude Grieken, en vooral Archimedes (287-212 v.C.), die de eigenschappen van het getal pi bestudeerden, steunend op definities en bewijsvoeringen.

Laat ons beginnen bij de formule \(p=2\times \pi \times r\), die ons niet alleen een definitie aanreikt, maar net zozeer een stelling is die ons vertelt dat bij twee cirkels met een verschillende straal, het getal \(\pi\) steeds hetzelfde blijft.

Eén van de berekeningen van Archimedes betreft de oppervlakte \(A\) van de schijf die door de omtrek van de cirkel wordt begrensd: \(A=\pi\times r^2\). We nemen even de proef op de som.

We knippen de schijf in partjes en rangschikken die zoals op de tekening. Hoe meer partjes we leggen (en hoe kleiner we de partjes dus maken), hoe meer de figuur op een vierhoek gaat lijken, met de straal \(R\) als hoogte en de helft van de omtrek van de cirkel als breedte, oftewel \(A=\pi\times R\). Als we die twee elementen met elkaar vermenigvuldigen, krijgen we inderdaad \(A=\pi\times R^2\).

Archimedes ging ook de waarde van \(\pi\) nauwkeurig berekenen.

Daarvoor tekende hij twee vijfhoeken, één om de cirkel heen (omgeschreven), en één binnenin de cirkel (ingeschreven). Daaruit leidde hij af dat de omtrek van de cirkel tussen de omtrek van de twee vijfhoeken in moest liggen. Hij zette zijn zoektocht verder, telkens met grotere veelhoeken, tot hij een veelhoek met 96 hoeken had getekend en tot de benadering van \(3,14\) kwam.

Eeuwenlang ging de zoektocht naar nieuwe decimalen van pi gestaag verder, met meetkundige berekeningen vertrekkend vanuit een cirkel.

De begindagen van de analyse en de komst van differentiaalrekening veranderden echter alles.

John Wallis (1616-1703) en James Gregory (1638-1675) kwamen tot formules voor de waarde van pi zonder rechtstreeks verband met de meetkunde. Pi wordt bijvoorbeeld voorgesteld door een som van een oneindig aantal termen:

\[\pi=4\times (1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-+\frac{1}{7}+…\]

Zo’n som met een oneindig aantal termen noemen we een reeks. In sommige gevallen nadert een reeks geen eindig getal (zoals de som 1+1+1+1…). In andere gevallen nadert de som van een oneindig aantal leden wel een eindig getal. We spreken in dit laatste geval van convergentie naar dat getal. Dat is onder meer het geval in de onderstaande reeks die convergeert naar pi.

Hoe meer termen er worden berekend, hoe groter het aantal exacte decimalen.
Alle verdere vooruitgang in de berekening van pi, steunt op almaar ingenieuzere reeksen, zonder rechtstreeks verband met de meetkunde.

Zo ontdekte Leonhard Euler (1707-1783) de formule:

\[\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+…\]

Even iets helemaal anders nu: priemgetallen.

Een getal is een priemgetal als het groter of gelijk is aan 2 en als het alleen deelbaar is door 1 en zichzelf. Het getal 6 is bijvoorbeeld geen priemgetal, want 6 = 2 . 3. De getallen 7 en 11 zijn wel priemgetallen. Er bestaan oneindig veel priemgetallen, te beginnen bij: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…

Een enigszins ingewikkelde berekening wijst uit dat \(\frac{\pi^2}{6}\) ook het resultaat is van een ‘oneindig product’:

\[\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{(1-\frac{1}{2^2})}\times \frac{1}{(1-\frac{1}{3^2})}\times \frac{1}{(1-\frac{1}{5^2})}\times \frac{1}{(1-\frac{1}{7^2})}\times \frac{1}{(1-\frac{1}{11^2})}\times … =\prod_{p\ priem}\frac{1}{(1-\frac{1}{p^2})}\]

waarin uitsluitend priemgetallen voorkomen.

Een ronduit verbluffende formule dus! Links, de omtrek van de cirkel, rechts de priemgetallen. Zo blijken twee volstrekt van elkaar losstaande concepten alsnog met elkaar verbonden. Dit bewijst nog maar eens hoe uniek de wiskunde wel is: je kan niet één tak van de wiskunde bestuderen, zonder de andere te raken.

Terug naar de berekening van nieuwe decimalen van pi.

Bovenstaande formules kunnen ons in theorie alle decimalen aanreiken, zij het heel langzaam. Men moet immers bijzonder veel termen van de reeks berekenen om slechts een handvol exacte decimalen te achterhalen. In het geval van
\[\pi=4\times (1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-+\frac{1}{7}+…)\]

moeten we 500 termen berekenen om tot \(3,14\), en 5.000 termen om tot \(3,141\) te komen.

Daarom zetten wiskundigen in hun jacht op nieuwe decimalen tegenwoordig vooral in op de zoektocht naar steeds efficiëntere formules.

Eén van die formules werd bedacht door de meest eigenaardige wiskundige uit de geschiedenis: Srinivasa Ramanujan (1887-1920), die helemaal op eigen houtje en zonder noemenswaardige opleiding in India schriften volkrabbelde met formules, zonder enige bewijsvoering. Hij schreef de Engelse wiskundig G.H. Hardy aan en stuurde hem 120 formules, opnieuw zonder bewijsvoering. Hardy nodigde hem uit in Cambridge, waar ze vijf jaar lang samenwerkten, tot Ramanujan overleed aan een longontsteking. Heel wat wiskundigen bogen zich later over de schriften van Ramanujan in een poging bewijzen te vinden voor de talloze formules.

Hier vind je een eigenaardig voorbeeld van wat Ramanujan over pi schreef, en waarvan nog steeds niet is geweten hoe hij ertoe kwam.

\[\pi=\frac{9801}{\sqrt{8}}(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!\times (1103+26390 n)}{(n!)^4\times 396^{4n}})^{-1}\]

Hier staat \(n!\) vood ‘de faculteit van \(n\)’, het product van alle gehele getallen van \(1\) tot \(n\). Zo is \(4!=1\times 2 \times 3 \times 4=24\).

Deze reeks levert voor elke nieuwe term in de som acht exacte decimalen op voor de waarde van pi. Dat is heel wat meer dan de reeks
\[\pi=4\times (1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-+\frac{1}{7}+…)\]
die slechts drie decimalen opleverde na 5.000 termen.

Deze formule uit 1914 – en de rekenkracht van een computer – werd in 1985 door William Gosper gebruikt om 17 miljoen decimalen van pi te berekenen.

Vandaag zijn al 31 biljoen decimalen van het getal gekend. Daarvoor worden uiteraard almaar krachtigere computers ingeschakeld, maar vooral ook formules van steeds ingenieuzere reeksen. De uitdaging bestaat erin reeksen te bedenken die steeds meer decimalen opleveren, zonder dat de berekening van de termen zo veel tijd in beslag neemt dat de winst aan decimalen teniet wordt gedaan.

Zijn al die decimalen wel nog nuttig? Uiteraard hebben die geen praktisch nut. De zoektocht heeft wel geleid tot de ontwikkeling van steeds snellere en ingenieuzere algoritmes, die op hun beurt de kennis binnen de wiskunde en de informatica vergroten.

Pi is waarschijnlijk het meest essentiële getal in de wiskunde, maar het wordt op het podium vergezeld door twee andere getallen: het complexe getal “\(i\)”, vierkantswortel van “\(-1\)”, en het getal van Euler “\(e\)”, basis van de exponentiële functie.

Om er meer over te weten te komen, nodigen wij u uit de bijdrage Pi, e, et i : les trois nombres incontournables te lezen die Luc Lemaire schreef voor de tentoonstelling Order of Operations.

Pagina’s: 1 2 3