03. Ambiguïté Géométrique II – Roger Vilder

2.
Roger Vilder

Ambiguïté Géométrique II

Teksten door Raoul Sommeillier

Perspectief

Perspectief laat ons toe een driedimensionaal lichaam weer te geven op een tweedimensionaal vlak, gebruikmakend van methodes die de indruk van diepte wekken.

In het dagelijkse leven wordt het woord ‘perspectief’ wel vaker gebruikt, als een vorm van beeldspraak, hetzij om een standpunt weer te geven, hetzij om het over vooruitzichten te hebben.

Het was Boëthius die in de 6e eeuw voor het eerst het woord ‘perspectief’ in de mond nam als vertaling van het Griekse ‘optika’. Tot in de renaissance werden ‘perspectief’ en ‘optiek’ bijgevolg als synoniemen van elkaar gebruikt. Toen echter onder aanvuren van artiesten de meetkunde een bloeiperiode kende in een poging volumes weer te geven, kreeg het woord ‘perspectief’ zijn moderne betekenis.

Perspectief‘ kan verschillende betekenissen dragen:
– De kunst om op de twee dimensies van een vlak driedimensionale lichamen weer te geven, gezien vanaf een bepaalde afstand en positie.
– Een vergezicht op een landschap of architecturaal geheel, vanaf een specifieke plaats: “Een prachtig perspectief op de Alpen.”
– Een beschouwing van een bepaald thema: “Vanuit sociologisch perspectief…”
– Een geheel van mogelijke of waarschijnlijke gebeurtenissen, projecten of evoluties in het vooruitzicht, de toekomst: “Een carrière met mooie perspectieven.”
– Wiskunde: We hebben een brandpunt O, een projectievlak (P) waarvan O geen deel uitmaakt en een driedimensionaal lichaam met alle punten M die verschillen van O. Centrale projectie is de weergave van alle punten op het vlak (P) waar elke rechte (OM) het vlak (P) snijdt. – Geen paniek, we lichten het verder wel nog toe.
– In de fotografie heeft men het ook over perspectiefcorrectie, of de digitale bewerking van beelden om de convergentie van rechten in de afbeelding te wijzigen.
– …

In de wiskunde en meetkunde

Bij perspectief spelen twee soorten meetkunde een bepalende rol.

De beschrijvende meetkunde werd uitgevonden door de Franse wiskundige Gaspard Monge (°1746-+1818). Het gaat meer bepaald om een tak van de meetkunde die de methodes beschrijft om problemen van snijpunten en schaduwen tussen volumes en oppervlakken die meetkundig gedefinieerd worden in een driedimensionale ruimte grafisch op te lossen. Het gaat doorgaans om de zoektocht naar de ware grootte van zijden, de berekening van raaklijnen aan krommen van driedimensionale lichamen of het bepalen van de aard van de krommen (ellips, parabool, hyperbool), de vorm van oppervlakken (conisch, cilindervormig of prismavormig enz.) of het tekenen van een lichaam volgens een projectiepunt (rotatie, neerlating, verandering van vlak in de ruimte).

Dit zijn problemen die zich deels ook stellen in de steenhouwerij, de industrie, en alle processen waarin plaatstaal wordt verwerkt (de plaatstaalindustrie, koetswerk, koperbewerking, ketelbouw enz.). In dit laatste voorbeeld wordt de specifieke toepassing van de beschrijvende meetkunde ook wel het ’traceren van bladmetaal’ (of kortweg ’tracering’) genoemd. Hoewel Gaspard Monge als de grondlegger van de beschrijvende meetkunde wordt beschouwd, bestaan de projectiemethodes al veel langer.

Centraal staat dus de weergave van een of meerdere driedimensionale lichamen met een minimum aan orthogonale projecties om ambiguïteit te vermijden en om – met het oog op het probleem in kwestie – zo veel mogelijk nuttige eigenschappen te bewaren (hoeken en lengtes).

De keuze van de projectievlakken gebeurt dus in functie van het gestelde probleem. Doorgaans volstaan twee projectievlakken.

Het kleine zusje van de beschrijvende meetkunde is de projectieve meetkunde: de tak binnen de meetkunde die op intuïtieve basis de concepten perspectief en horizon benadert. Deze vorm van meetkunde bestudeert de invariante eigenschappen van figuren vanuit centrale projectie.

Centrale projectie

Binnen de ruimtemeetkunde wordt een centrale projectie of het centraal perspectief als volgt gedefinieerd.

We hebben een brandpunt O, een projectievlak (P) waarvan O geen deel uitmaakt en een driedimensionaal lichaam met alle punten M die verschillen van O. Centrale projectie is de weergave van alle punten op het vlak (P) waar elke rechte (OM) het vlak (P) snijdt.

De schaduw die vanuit een lichtbron – één punt – wordt geworpen op een vlak, is een voorbeeld van centrale projectie.

De studie van centrale projecties kwam vooral op gang vanaf de 15e eeuw, voor het tekenen van lijnperspectieven, al kende het vakgebied pas vanaf 1636 een reële bloei op aansturen van Girard Desargues en later van Gaspard Monge en Jean-Victor Poncelet. De studie heeft geleid tot een nieuwe meetkunde, die we de projectieve meetkunde noemen.

Pagina’s: 1 2 3