14. In Praise of Love – Michel Tombroff

Revenons aux multiples de 7, dont une liste est facile à dresser : on prend la liste des nombres naturels et on n’en garde qu’un sur sept, en commençant par 0.

 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | …

Dès lors, vous penserez surement qu’il y a moins de multiples de 7 que de nombres naturels. Mais est-ce logique ? Pour en douter, observez la table de multiplication par 7 :

0123456789101112N
0714212835424956637077847 x N

Elle met en correspondance un à un les nombres naturels (sur la première ligne) et les multiples de 7 (sur la seconde). Vous serez alors forcés d’admettre qu’il y a finalement autant de multiples de 7 que de nombres naturels. Est-ce plus logique ?  Oui, et pour ne pas en douter, sachez que c’est précisément ce qui est admis en mathématiques :  

Principe d’équipotence
Deux ensembles ont le même nombre d’éléments quand il existe une correspondance un à un entre leurs éléments, auquel cas ces ensembles sont dits équipotents.

Ainsi, l’ensemble des nombres naturels est équipotent à celui des multiples de 7, qui n’en est pourtant qu’une partie, direz-vous. Ceci n’est pas contradictoire : il s’agit seulement de la caractéristique d’un ensemble infini, et l’infini est un objet d’étude des mathématiques.

L’infini se présente dans la suite des nombres naturels, qui servent à compter. Il se rencontre aussi dans l’écriture d’un autre type de nombres, qui servent à mesurer : les nombres réels. Les écoliers parlent plus volontiers de nombres « à virgule » car, quand ils ne sont pas entiers, l’écriture décimale de ces nombres fait apparaître une virgule et des chiffres de part et d’autre de celle-ci. Vous avez probablement encore en tête quelques chiffres de l’écriture décimale du fameux nombre \(\pi\), par exemple, à savoir 3,14159…

Nombre réel
Les points d’un segment de droite ci-dessous se repèrent à l’aide des nombres réels entre 0 et 1.

Dans la Figure 1, le point en rouge correspond au nombre réel s’écrivant 0,7142128354…,
où les points de suspension « » indiquent que la suite de chiffres ne se termine pas.
Quiz
Pouvez-vous deviner ici comment cette suite de chiffres se prolongerait ?

En pratique, on se contente le plus souvent de valeurs approchées, en se restreignant alors aux nombres réels qui peuvent s’écrire avec une suite finie de chiffres. Ce sont les nombres décimaux. En voici une infinité, en guise d’exemples :

0 | 0,7 | 0,714 | 0,71428 | 0,7142835 | 0,714283542 | …

Vous aurez compris qu’il s’agit de valeurs approchées, de plus en plus précises, du nombre écrit en rouge dans l’encadré précédent.

Quiz
A quelle position se trouve le nombre 0,71417 dans cette liste ?
Approximation décimale
La Figure 2 montre en bleu tous les points intérieurs au segment qui peuvent être repérés par un nombre réel ne comportant pas plus de 4 chiffres après la virgule.
Mais où sont les autres points, vous demanderez-vous ? À vrai dire, la limite de précision de la représentation (épaisseur des traits) ne permet pas de les distinguer.

L’ensemble des nombres décimaux compris entre 0 et 1 est infini. Pensez-vous qu’il est possible de dresser la liste de ses éléments de manière à les mettre en correspondance un à un avec les nombres naturels, comme cela peut se faire avec les multiples de 7 ? Essayez !

Pour connaître la réponse, cliquez sur la flèche ci-dessous.

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