14. In Praise of Love – Michel Tombroff

Vous avez cliqué sur le lien. Peut-on en déduire que vous voulez connaître la réponse ? Non. Si vous ne le vouliez pas, rien ne vous interdisait de cliquer sur le lien, compulsivement. 

Mais si vous ne cliquez pas sur le lien, c’est que vous ne voulez pas connaître la réponse.

C’est le sens d’une affirmation de la forme « si A, alors B » : de la vérité de A, elle permet de déduire la vérité de ; et de la fausseté de B, elle permet alors de déduire la fausseté de A. C’est par ce type de déduction que les mathématiciens établissent la valeur de vérité de n’importe quelle affirmation, et que leurs connaissances progressent.

Exemple
Imaginons que vous connaissiez seulement les onze premiers multiples de 7, d’une part :
0 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70.

Et que vous connaissiez d’autre part la propriété suivante :
Si un nombre est la somme de deux multiples de 7, alors il est lui-même un multiple de 7.

Vous pourrez en déduire que 112 est un multiple de 7, car 112 = 70 + 42.
Il s’agit d’un exemple élémentaire de raisonnement.

Pour établir la vérité d’une affirmation moins évidente, c’est le même principe : on part de connaissances de base, d’une part, et de propriétés déjà établies, d’autre part, et on cherche à en déduire l’affirmation en question par un raisonnement. Ce processus, appelé démonstration, n’a bien sûr aucune chance d’aboutir quand l’affirmation est fausse, auquel cas, pour établir sa fausseté, il faut alors chercher à démontrer sa négation. Logique.

Quiz
Comment formuleriez-vous la négation de « si vous voulez connaître la réponse, alors vous cliquerez sur ce lien » ?

La question de départ se précise : peut-on déterminer, au moyen d’une démonstration, la valeur de vérité de n’importe quelle affirmation en mathématiques ?

Si vous ne cliquez pas sur la flèche ci-dessous, alors vous ne voulez pas connaître la réponse.

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