09. Fractal – Sabina Hyoju Anh

Sabina Hyoju Anh (KR)

Fractal

Textes par Paolo Saracco

Une nouvelle dimension

Pour bien distinguer les objets « fractals » des objets « ordinaires », nous devons rafraîchir un peu nos idées sur la notion de « dimension ». Si nous faisons abstraction du temps, nous vivons tous dans un espace tridimensionnel et nous sommes assez familiers avec les objets tridimensionnels : un cube, une sphère, un cône, une statue, une voiture. Depuis l’école primaire, nous connaissons également certains objets bidimensionnels : les cercles, les carrés, les triangles et autres polygones dessinés sur une feuille de papier sont, par convention, bidimensionnels. Les images sur un écran (comme lorsque nous regardons un film au cinéma) peuvent représenter des objets tridimensionnels, mais ils sont, en fait, bidimensionnels. Il est un peu plus difficile de parler d’objets unidimensionnels ou de dimension zéro, mais nous avons quand même l’habitude de dire qu’une ligne tracée sur une feuille de papier ou un fil de laine très fin sont des objets unidimensionnels (car nous sommes capables d’imaginer qu’ils n’ont pas d’épaisseur) et qu’un point infiniment petit est de dimension zéro.

De manière informelle, nous pouvons appeler cela les dimensions  » topologiques  » (des mots grecs τόπος,  » lieu, emplacement « , et λόγος,  » étude « ) des objets.  Bien sûr, ce sont des abstractions mathématiques : un point qui existe réellement ne peut pas être infiniment petit et une ligne, pour être unidimensionnelle, devrait être infiniment fine. Néanmoins, ces abstractions sont « suffisantes » pour nous permettre de faire de la « géométrie » (du mot grec γεωμετρία, γεω- « terre » et μετράω « je mesure ») : elles nous permettent de « mesurer la Terre ». Un objet unidimensionnel peut être mesuré par sa longueur, un objet bidimensionnel par sa surface, un objet tridimensionnel par son volume.

Cependant, même si cette idée de dimension nous est assez intuitive, elle reste insuffisante pour décrire la nature qui nous entoure Considérons un instant le flocon de neige de von Koch, qui est la courbe obtenue en effectuant le processus ci-dessous un nombre infini de fois.

Bien qu’il s’agisse d’une abstraction mathématique , elle peut illustrer assez bien un problème non trivial lié à notre intuition de la dimension. En tant que courbe, elle ressemble à un polygone (avec un nombre infini de côtés !) qui englobe une surface limitée, de sorte qu’elle peut être « dominée » ou « mesurée » avec les outils de la géométrie ordinaire en calculant son périmètre et sa surface.

Commençons par le périmètre. Si nous supposons que le triangle de départ a tous ses côtés de longueur \(1\), son périmètre est de \(3\).
Comme chaque petit segment de l’étoile à la deuxième étape a une longueur de \(\frac{1}{3}\), l’étoile a un périmètre de \(4=\frac{4}{3}\times 3>3\).
Le flocon à la troisième étape a un périmètre de \(\frac{16}{3}=\frac{4}{3}\times 4>4\).
À la quatrième étape, il a un périmètre de \(\frac{64}{9}=\frac{4}{3}\times \frac{16}{3}>\frac{16}{3}\), et ainsi de suite.

En général, le périmètre à la \(n\)ième étape sera de \((\frac{4}{3})^n \times 3\) et il augmente constamment à chaque étape de la construction. Ainsi, le périmètre du flocon de neige final est infini, mais il entoure toujours une surface finie. C’est ainsi qu’un innocent flocon de neige peut échapper à notre capacité à « mesurer » la nature.

Heureusement, il existe une autre façon de considérer les dimensions simples, qui donne une signification mathématique à la valeur de la dimension.
Si nous partons d’une ligne d’une unité de longueur et que nous l’agrandissons par un facteur 2, nous obtenons une ligne de deux unités de longueur.
Si nous l’agrandissons d’un facteur 3, nous obtenons une ligne de trois unités de longueur. De la même manière, si nous agrandissons le carré unitaire par deux pour former un carré dont les bords sont deux fois plus longs, nous obtenons un carré dont la surface est quatre fois plus grande que celle du carré original.
Agrandissons le carré unitaire par trois pour obtenir des côtés de trois unités de long, et nous obtenons un carré composé de neuf carrés unitaires.
Enfin, faisons la même chose avec un cube de taille unitaire. Agrandissons-le par un facteur de deux, de sorte qu’il ait deux unités de largeur (et de longueur, et de hauteur) et le résultat est un cube de huit unités.
Agrandissez-le d’un facteur 3 et vous obtenez un cube composé de vingt-sept cubes unitaires.

Dans tous ces cas, nous pouvons décrire la relation entre le facteur d’agrandissement \(r\) de l’objet « unitaire » , sa dimension \(D\) et le nombre total \(N\) d’objets « unitaires » nécessaires pour remplir l’objet agrandi, avec l’équation suivante:

\[N=r^D\]

Compte tenu de cette relation, si nous voulons déterminer la dimension de notre objet, nous pouvons l’extraire en réorganisant la formule par rapport à \(D\). Pour ce faire, nous avons besoin d’une fonction mathématique, appelée logarithme \(log\), qui jouit de quelques propriétés très utiles :

\(log(x\times y)=\log(x)+log(y)\) et \(log(x^y)=y\times logx)\)

Avec cette fonction sous la main, on trouve que \(log(N) =log(r^D) =D\times log (r)\) et donc

\[D=\frac{log(N)}{log(r)}\]

et cette relation est vraie indépendamment du facteur d’agrandissement particulier que nous utilisons pour la calculer. Nous pouvons l’appeler dimension fractale. Dans le cas particulier du cube unitaire, nous avons vu que si nous agrandissons par un facteur \(r=2\), nous avons besoin de \(N=8=2^3\) cubes unitaires pour remplir le cube agrandi. Par conséquent,

\[D=\frac{log(N)}{log(r)}=\frac{log(2^3)}{log(2)}=\frac{3\times log(2)}{log(2)}=3\]

et donc le cube est tridimensionnel même par rapport à cette dimension fractale. Appliquons maintenant cette idée au flocon de neige de von Koch. Dans ce cas, nous pouvons voir que le flocon entier est composé de ces trois « côtés » collés ensemble, qui forment la courbe de von Koch (comme représenté ci-dessous) :

Intuitivement, à chaque étape de la construction, prendre des segments qui font 1/3 des segments originaux signifie prendre le quart de la figure dans le coin inférieur gauche du segment suivant et nous avons besoin de quatre copies de celui-ci pour récupérer la figure entière. Par exemple, si nous regardons ___, prendre un segment d’un tiers signifie prendre _, qui est le coin inférieur gauche de _/\_.

Comme dit précédemment, à chaque étape, nous avons des segments qui font 1/3 de la longueur des précédents et nous avons besoin de quatre fois plus de segments. Cette proportion est toujours conservée et, en particulier, elle est conservée dans la courbe finale. Ainsi, si nous agrandissons la courbe de \(r=3\), il nous faut \(N=4\) courbes pour la remplir.
En résumé:

\[D=\frac{log(N)}{log(r)}=\frac{log(4)}{log(3)}\approx 1,26\]

Sa dimension fractale n’est donc pas un nombre entier (la dimension du flocon de neige de von Koch est évidemment la même que celle de n’importe lequel de ses composants).
Il est important de mentionner que ce que nous venons de décrire est un exemple de dimension fractale qui fonctionne bien pour les objets théoriques qui peuvent être décrits de manière récursive comme le flocon de neige de von Koch. Il existe cependant plusieurs dimensions fractales différentes, qui peuvent être plus ou moins efficaces selon le contexte d’application.

Fractales

Le terme fractale, issu du latin fractus qui signifie « brisé » ou « fragmenté », a été inventé par Mandelbrot dans son essai fondateur en 1975. Depuis lors, la géométrie fractale a suscité une attention considérable, et parfois controversée.
Plusieurs tentatives ont été faites pour donner une définition mathématique d’une fractale, mais ces définitions ne se sont pas avérées satisfaisantes dans un contexte général. Nous évitons ici de donner une définition précise, préférant considérer qu’un ensemble dans l’espace euclidien est une fractale s’il possède toutes ou la plupart des caractéristiques suivantes :

  1. Une fractale possède une structure fine, c’est-à-dire que des détails irréguliers apparaissent à des échelles arbitrairement petites.
  2. Elle est trop irrégulière pour être décrite par le calcul ou le langage géométrique traditionnel, que ce soit localement ou globalement.
  3. Elle présente souvent une certaine forme d’auto-similarité ou d’auto-affinité, peut-être dans un sens statistique ou approximatif.
  4. Habituellement, sa « dimension fractale » (définie d’une certaine manière) est strictement supérieure à sa dimension topologique.
  5. Dans de nombreux cas d’intérêt, elle a une définition très simple, peut-être récursive.
  6. Elle a souvent un aspect « naturel ».

Les exemples de fractales abondent, mais certaines classes ont attiré une attention particulière. Certaines fractales auto-similaires sont particulièrement bien connues :

  • le flocon de neige de von Koch,
  • le triangle (ou joint de culasse) de Sierpinski,
  • l’ensemble triadique de Cantor,
  • et le tapis de Sierpinski.

Les deux derniers sont représentés respectivement par l’image et l’animation ci-dessous.

Les fractales qui apparaissent comme attracteurs ou répulseurs de systèmes dynamiques, par exemple les ensembles de Julia résultant de l’itération de fonctions complexes, ont également fait l’objet d’une large couverture.
La géométrie fractale est l’étude des ensembles ayant des propriétés telles que 1-6.

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