09. Fractal – Sabina Hyoju Anh

Sabina Hyoju Anh (KR)

Fractal

Textes par Paolo Saracco

« Les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, le tronc d’un arbre n’est pas un cylindre, tout comme un éclair n’est pas une ligne, parce que toutes ces choses sont des figures fractales. »

Benoit B. Mandelbrot, 1982

En faisant confiance aux paroles inspirantes de Mandelbrot, nous ne pouvons pas toujours nous attendre à ce que la Nature s’adapte à la Géométrie. Explorons plutôt comment la Géométrie s’adapte à la Nature.

Un concept clé de la géométrie classique est qu’un objet « régulier », aussi « compliqué » qu’il puisse paraître à première vue, devient « plus simple » s’il est observé de manière suffisamment rapprochée. Ainsi, la Statue de la Liberté peut ressembler à une grande surface de terrain plat pour une fourmi qui s’y promène. Au contraire, une fractale est un objet qui reste « compliqué » indépendamment de la distance à laquelle nous le regardons.

Le terme ‘fractal’, issu du Latin ‘fractus’ signifiant cassé ou fragmenté, a été inventé par Mandelbrot en 1975. En gros, une fractale est un ensemble plus « irrégulier » que ceux décrits au moyen des mathématiques traditionnelles. Quel que soit l’agrandissement de l’ensemble, il conserve la richesse et la complexité de la structure globale et des détails de plus en plus petits deviennent visibles. Comme c’est le cas pour la bordure d’un flocon de neige, la surface d’un chou Romanesco ou les côtes de la Grande-Bretagne.

Les poumons et les arbres sont d’excellents exemples de fractales naturelles. En effet, ils partagent le même modèle de ramification et ce, pour une bonne raison. Les arbres et les poumons remplissent une fonction similaire : la respiration. Il n’est donc pas surprenant qu’ils partagent une structure similaire (ce concept scientifique est connu sous le nom de Relation Structure-Fonction). La clé de leur succès est qu’ils ont tous deux besoin d’une grande surface stockée dans un volume limité pour bien fonctionner. En fait, la quantité de gaz qui peut être échangée à travers les feuilles d’un arbre ou les poumons d’un animal est directement proportionnelle à leur surface totale. Bien que le volume d’une paire de poumons humains ne soit que de 4 à 6 litres environ, leur surface est comprise entre 50 et 100 mètres carrés. C’est à peu près la même surface qu’un court de tennis.

Plus formellement, une fractale peut être définie comme un ensemble « dont la dimension ne correspond pas à celle attendue ». Regardez, par exemple, la célèbre courbe de Hilbert-Peano, construite en itérant un nombre infini de fois le processus illustré ci-dessous.

Comme il s’agit d’une courbe, on s’attend à ce qu’il s’agisse d’un ensemble unidimensionnel, mais il remplit en fait tout le plan, de sorte que, formellement, il s’agit d’un ensemble bidimensionnel. L’existence d’objets pour lesquels la notion intuitive de dimension est inappropriée a conduit la communauté mathématique à en explorer de nouvelles : les dimensions fractales.

De nos jours, les dimensions fractales sont utilisées pour caractériser un large éventail d’objets, notamment les turbulences, les réseaux fluviaux, la croissance urbaine, la physiologie humaine, la médecine et les tendances du marché.

Les fractales, qu’elles soient naturelles ou mathématiques, peuvent être extrêmement belles et l’une des choses extraordinaires à leur sujet est de découvrir comment la science, les mathématiques et l’art peuvent être intimement liés.

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