05. Pi – Michel Tombroff

Michel Tombroff (BE)

Pi

Textes par Luc Lemaire

Revenons à la corde de 40 000 km enroulée le long de l’équateur, et qu’on allonge d’un mètre. Notre intuition nous dit qu’on ne pourrait la soulever que de moins d’un millimètre tout au long de l’équateur.

Mais la formule \(p=2\times \pi \times r\) nous dit que si on augmente le périmètre d’un mètre on augmente le rayon de \(r=\frac{1}{2\pi}\). La corde se soulève donc de 16 centimètres environ – tout au long de l’équateur.

Ce sont les Grecs et en particulier Archimède (287-212 avant notre ère) qui ont étudié les propriétés de pi, basées sur des définitions et démonstrations rigoureuses.

Commençons par la formule \(p=2\times \pi \times r\). Elle ne comporte pas seulement une définition mais aussi un théorème qui nous dit que pour deux cercles de rayons différents le nombre « \(\pi\) » est le même.

Un résultat d’Archimède concerne l’aire \(A\) du disque contenu dans le cercle : \(A=\pi\times r^2\). En voici une démonstration simple.

Découpons le disque en quartiers, comme sur le dessin. Puis basculons-les et rangeons-les, toujours comme sur le dessin. Lorsque nous prenons des quartiers de plus en plus nombreux, la figure tend vers un rectangle dont la hauteur est le rayon \(R\) et la largeur la moitié du périmètre c’est-à-dire \(\pi\times R\).  Le produit des deux donne bien l’aire du cercle \(A=\pi\times R^2\). 

Archimède a également entrepris le calcul rigoureux de la valeur de \(\pi\).

Pour cela, il a entouré le cercle d’un hexagone inscrit (à l’intérieur) et un circonscrit (à l’extérieur) et conclu que la longueur du cercle est comprise entre les longueurs des deux hexagones. Il a accompli l’exploit d’effectuer le calcul jusqu’à des polygones de 96 côtés, obtenant l’approximation \(3,14\).

Pendant des siècles, le calcul des décimales de Pi s’est poursuivi lentement, en partant de la géométrie du cercle.

Mais aux débuts de l’analyse et du calcul différentiel, tout change.

John Wallis (1616-1703) puis James Gregory (1638-1675) obtiennent des formules pour la valeur de Pi sans lien direct avec la géométrie. Par exemple, Pi est représenté par une somme d’une infinité de termes :

\[\pi=4\times (1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-+\frac{1}{7}+…\]

Une somme d’une infinité de termes est appelée une série. Dans certains cas une série ne s’approche pas d’un nombre fini (par exemple la somme 1+1+1+1…) mais dans d’autres, la somme d’une infinité de termes s’approche d’un nombre fini – on dit qu’elle converge vers ce nombre. C’est le cas pour la série ci-dessus, qui converge vers Pi.

Plus on calcule de termes, plus le nombre de décimales exactes augmente.

Tous les progrès ultérieurs dans le calcul de Pi sont basés sur des séries de plus en plus ingénieuses, sans lien direct avec la géométrie.

Par exemple, Leonhard Euler (1707-1783) découvre la formule :

\[\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+…\]

Mais parlons d’un sujet complètement différent : les nombres premiers.

Un nombre est premier s’il est supérieur ou égal à \(2\) et s’il n’est divisible que par \(1\) et par lui-même. Par exemple, \(6\) n’est pas premier car \(6=2\), mais \(7\) et \(11\) sont premiers. Il y a une infinité de nombres premiers et les premiers sont : \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …\).

Un calcul un peu compliqué montre que \(\frac{\pi^2}{6}\) est également donné par un « produit infini » :

\[\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{(1-\frac{1}{2^2})}\times \frac{1}{(1-\frac{1}{3^2})}\times \frac{1}{(1-\frac{1}{5^2})}\times \frac{1}{(1-\frac{1}{7^2})}\times \frac{1}{(1-\frac{1}{11^2})}\times … =\prod_{p\ premier}\frac{1}{(1-\frac{1}{p^2})}\]

où n’apparaissent que les nombres premiers.

Cette formule est étonnante ! A gauche, le périmètre du cercle, à droite les nombres premiers. Deux sujets complètement séparés sont en fait liés. Ceci souligne une fois de plus l’unicité des mathématiques : on ne peut pas étudier une branche sans faire appel aux autres.

Revenons au calcul d’un nombre de plus en plus énorme de décimales de Pi.

Les formules ci-dessus donnent théoriquement toutes les décimales, mais très lentement : il faut calculer de très nombreux termes de la série pour obtenir assez peu de décimales exactes. Dans le cas de

\[\pi=4\times (1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-+\frac{1}{7}+…)\]

il faut sommer 500 termes pour avoir \(3,14\), et 5000 pour avoir \(3,141\).

Les efforts des calculateurs de décimales se sont portés sur la recherche de formules de plus en plus efficaces.

Parmi ces nombreuses formules, en voici une inventée par le mathématicien le plus étrange de l’histoire : Srinivasa Ramanujan (1887-1920). Travaillant seul et sans réelle éducation en Inde, il remplissait des carnets de formules sans aucune démonstration. Il écrivit au mathématicien anglais G.H. Hardy en lui envoyant 120 formules, toujours sans démonstration. Hardy le fit venir à Cambridge où ils travaillèrent ensemble pendant cinq ans, Ramanujan mourant hélas d’une pneumonie. Les carnets de Ramanujan ont fourni du travail à de nombreux mathématiciens qui cherchèrent des démonstrations pour ses innombrables formules.

Voici une formule tout à fait étrange qu’il écrivit pour Pi, et pour laquelle nous ne savons pas comment il l’a trouvée :

\[\pi=\frac{9801}{\sqrt{8}}(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!\times (1103+26390 n)}{(n!)^4\times 396^{4n}})^{-1}\]

Ici \(n!\) s’appelle la « factorielle de \(n\) » et est le produit de tous les nombres entiers de \(1\) à \(n\). Par exemple, \(4!=1\times 2 \times 3 \times 4=24\).

La série est telle que chaque terme qu’on ajoute dans la somme ajoute huit décimales exactes dans la valeur obtenue pour Pi.  On est loin de la série

\[\pi=4\times (1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-+\frac{1}{7}+…)\]

qui ne donnait que trois décimales après 5000 termes.

Cette formule de 1914 – et l’aide d’un ordinateur – a été employée par William Gosper en 1985 pour calculer 17 millions de décimales de Pi.

Aujourd’hui nous en sommes à 31 mille milliards de décimales. Pour y arriver, on emploie bien sûr des ordinateurs de plus en plus puissants, mais surtout des formules de séries de plus en plus ingénieuses. Il s’agit de trouver des termes donnant de plus en plus de décimales, mais sans que le calcul de ces termes ne prenne un temps qui annulerait le gain de décimales.

A quoi sert la connaissance de toutes ces décimales ? Évidemment elles n’ont pas d’intérêt pratique. Mais cet objectif de recherche a amené à développer des algorithmes de plus en plus rapides et ingénieux, qui à leur tour ont fait progresser nos connaissances en mathématique et informatique.

Pi est sans doute le nombre le plus incontournable en mathématique, mais il est rejoint sur le podium par deux autres nombres : le nombre complexe « \(i\) », racine carrée de \(-1\), et le nombre d’Euler « \(e\) », base de la fonction exponentielle.
Pour en savoir plus, nous vous invitons à lire la contribution de Luc Lemaire: Pi, e, et i : les trois nombres incontournables.

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