02. Sectio Aurea – Michel Tombroff

1.
Michel Tombroff

Sectio Aurea

Textes par Simone Gutt & Michel Cahen

Tables multiples,
Irrationnel angoissant.
Nombre divin qui se cache et éclaire
Suites et pavages.
“Le vent se lève!…il faut tenter de vivre,”
comprendre, connaître
Phi, le nombre d’or.

L’œuvre de Michel Tombroff oppose l’esthétique de quatre rectangles d’or à la complexité des décimales du Nombre d’Or lui-même représentées par les réglettes de bois de longueurs différentes.

Approche courte

Le nombre d’or est égal à \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) . C’est un nombre « irrationnel », c’est-à-dire qu’il ne peut pas s’écrire comme une fraction \(\frac{a}{b}\) avec \(a\) et \(b\) des entiers. Il est l’unique solution positive de l’équation \(x^2-x-1=0\). Une approximation est donnée par \(1,61803398……\).

Il serait une expression d’harmonie ou d’esthétique. Il est noté \(\phi\) (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias (5e siècle avant Jésus-Christ). A la fin du XVe siècle, Luca Pacioli le nomme « La divine proportion » dans un livre illustre par Léonard de Vinci. Johannes Kepler parle d’un joyau précieux, trésor de la géométrie. C’est au XIXe siècle que les noms de « section dorée » ou « nombre d’or » apparaissent. Le philosophe allemand Adolphe Zeising  fait du nombre d’or une clé de compréhension de nombreux domaines (architecture, peinture, musique, biologie, anatomie). Il obtient un grand succès malgré des fondements scientifiques douteux. Ses théories se propagent au XXe siècle. Le nombre d’or influence certains travaux du compositeur Iannis Xenakis, de l’architecte Le Corbusier, du poète Paul Valery, et du peintre Salvador Dali.

C’est Euclide (vers 300 av. J.C.) qui en a donné une première définition comme un rapport entre deux grandeurs : deux grandeurs \(L\) et \(\ell\) positives ont un rapport égal au nombre d’or (\(\frac{L}{\ell}=\phi\))  si et seulement si \(\frac{L+\ell}{L}=\frac{L}{\ell}\).
(En effet \(\frac{L+\ell}{L}=\frac{L}{\ell}\) ssi \(1+\frac{\ell}{L}=\frac{L}{\ell}\) ssi \(1+\frac{1}{x}=x\) avec \(x=\frac{L}{\ell}\) ssi \(x^2-x-1=0\) et \(x=\frac{L}{\ell}>1\) ssi \(x=\frac{L}{\ell}=\frac{1+\sqrt{1+4}}{2}=\phi\).)

Un rectangle est d’or quand le rapport entre sa longueur et sa largeur vaut \(\phi\). Pour vérifier qu’un rectangle est d’or on en prend deux copies qu’on pose l’une à côté de l’autre, perpendiculairement:

Si la droite \(d\) passant par \(O\) et \(S\) passe par le sommet \(A\), alors le rectangle est d’or.

(En effet, le théorème de Thalès nous dit dans ce cas que les deux triangles rectangles debase horizontale et d’hypoténuse suivant la droite \(d\) sont homothétiques, donc \(\frac{L+\ell}{L}=\frac{L}{\ell}\).

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On définit de manière analogue un triangle d’or aigu ou obtus; ils apparaissent dans les pentagones

… et sont à la base des constructions par Roger Penrose (Prix Nobel 2020) de pavages non périodiques du plan.

Le nombre d’or est lié à la suite de Fibonacci.
On peut également construire une spirale d’or.

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